स्टँडर्ड डेव्हिएशन

स्टँडर्ड डेव्हिएशन हा एक सांख्यिकीय उपाय आहे जो डाटा मूल्यांच्या सेटमध्ये बदल किंवा डिस्पर्शनची रक्कम प्रमाणित करतो. हे दर्शविते की डाटासेटच्या मीन (सरासरी) पेक्षा किती वैयक्तिक डाटा पॉईंट्स भिन्न आहेत. कमी स्टँडर्ड डेव्हिएशन दर्शविते की डाटा पॉईंट्स अर्थाच्या जवळ आहेत, तर उच्च स्टँडर्ड डेव्हिएशन सूचित करते की डाटा विस्तृत श्रेणीवर पसरलेला आहे. अस्थिरतेचे मूल्यांकन करण्यासाठी, रिस्कचा अंदाज घेण्यासाठी आणि डाटा वितरण समजून घेण्यासाठी फायनान्स, सायन्स आणि इंजिनीअरिंग सारख्या क्षेत्रांमध्ये स्टँडर्ड डेव्हिएशनचा वापर केला जातो. हे व्हेरियन्सचा स्क्वेअर रूट आहे, ज्यामुळे स्प्रेडचे अधिक अर्थपूर्ण मापन प्रदान केले जाते.

स्टँडर्ड डिव्हिएशन (एसडी) ही आकडेवारीतील एक मूलभूत संकल्पना आहे जी डाटासेटच्या मुख्य (सरासरी) डाटा पॉईंट्सच्या विसर्जन किंवा प्रसार मोजते. हे आम्हाला सरासरी, वैयक्तिक डाटा पॉईंट्स किती दूर आहेत याची भावना देते, ज्यामुळे डाटामध्ये बदल समजून घेण्यास मदत होते.

1. स्टँडर्ड डेव्हिएशनसाठी फॉर्म्युला:

लोकसंख्येसाठी (म्हणजेच, संपूर्ण डाटासेट), खालील फॉर्म्युला वापरून स्टँडर्ड डेव्हिएशनची गणना केली जाते:

कुठे:

• S हे लोकसंख्या मानक विचलन आहे.
• n म्हणजे लोकसंख्येतील डाटा पॉईंट्सची संख्या.
• xi प्रत्येक डाटा पॉईंटचे प्रतिनिधित्व करते.
• μ म्हणजे लोकसंख्या म्हणजे (सरासरी).
• n सर्व डाटा पॉईंट्सवर सम दर्शविते.

नमुन्यासाठी (म्हणजेच, लोकसंख्येचा उपसमूह), फॉर्म्युला लहान आकारासाठी अकाउंटमध्ये थोडा ॲडजस्ट केला जातो आणि कमी अंदाजित परिवर्तनीयता टाळला जातो:

एस=

कुठे:

• s हे नमुना मानक विचलन आहे.
• n म्हणजे नमुनामध्ये डाटा पॉईंट्सची संख्या.
• x हा नमुना अर्थ आहे.

2. स्टँडर्ड डेव्हिएशन कॅल्क्युलेट करण्याच्या स्टेप्स:

1. कॅल्क्युलेट म्हणजे: डाटासेटची सरासरी शोधा. हे सर्व डाटा पॉईंट्सचा समावेश करून आणि एकूण डाटा पॉईंट्सच्या संख्येद्वारे विभाजित करून केले जाते.

μ = i^N=1^xi/N

अर्थापासून फरक शोधा: प्रत्येक मूल्य किती वेगळे आहे हे निर्धारित करण्यासाठी प्रत्येक डाटा पॉईंटमधून वजा करा.

1. चौरस फरक: स्टेप 2 मध्ये प्राप्त प्रत्येक फरकाचा चौरस. ही स्टेप सुनिश्चित करते की नकारात्मक आणि सकारात्मक विचलन एकमेकांना कॅन्सल करत नाहीत.
2. सरासरी चौरस फरक: लोकसंख्येसाठी, एनएनएन (डाटा पॉईंट्सची संख्या) द्वारे विभाजित करून या चौरस फरकांची सरासरी शोधा. नमुन्यासाठी, नमुना आकार आणि पूर्वग्रह कमी करण्यासाठी n - 1 द्वारे विभाजित करा.
3. चौरस मूळ घ्या: शेवटी, पायरी 4 पासून परिणामाचा चौरस मूळ घ्या. हे स्टँडर्ड डेव्हिएशन देते.

3. स्टँडर्ड डेव्हिएशनचे अर्थघटन:

• कमी स्टँडर्ड डेव्हिएशन: लहान स्टँडर्ड डेव्हिएशन म्हणजे डाटा पॉईंट्स म्हणजेच त्याच्या जवळ असतात. डाटा टायटली क्लस्टर केला आहे, ज्यामुळे कमी परिवर्तनीयता किंवा सातत्य दर्शविते.
• उच्च मानक विचलन: मोठे मानक विचलन म्हणजे डाटा पॉईंट्स विस्तृत श्रेणीच्या मूल्यांवर पसरले जातात. हे डाटासेटमध्ये उच्च व्हेरिएबिलिटी आणि अधिक अनिश्चितता दर्शविते.

उदाहरणार्थ, जर तुमच्याकडे एकाच अर्थाने दोन डाटासेट असतील:

• डाटासेट 1: [10, 11, 9, 10, 10]
• डाटासेट 2: [1, 20, 5, 16, 9]

जरी दोन्हींचा समान अर्थ (10) असला तरी, डाटासेट 1 मध्ये खूप कमी परिवर्तनीयता आहे, त्यामुळे त्याचे स्टँडर्ड विचलन डाटासेट 2 पेक्षा कमी असेल.

4. स्टँडर्ड डेव्हिएशनचा वापर:

• फायनान्स आणि इन्व्हेस्टमेंट: स्टॉक किंवा पोर्टफोलिओ सारख्या ॲसेटची अस्थिरता किंवा रिस्क मोजण्यासाठी स्टँडर्ड डेव्हिएशनचा वापर केला जातो. उच्च मानक विचलन अधिक किंमतीतील चढ-उतार दर्शविते, जे अधिक जोखीम सूचित करू शकते.
• गुणवत्ता नियंत्रण: उत्पादनात, मानक विचलन उत्पादनाच्या सातत्यतेचे मूल्यांकन करण्यास मदत करते. उत्पादन मोजमापातील लहान मानक विचलन सूचित करते की उत्पादने उच्च अचूकतेसह तयार केली जात आहेत.
• आकडेवारी: डाटाचा प्रसार समजून घेण्यासाठी आणि आत्मविश्वास अंतराळ, रिग्रेशन मॉडेल्स आणि हायपोथेसिस चाचण्यांसारख्या इतर सांख्यिकीय उपायांची गणना करण्यासाठी स्टँडर्ड डेव्हिएशनचा वापर केला जातो.

5. सामान्य वितरणाशी संबंध:

सामान्य वितरणामध्ये (बेल-शेप्ड कर्व्ह), याविषयी:

• 68% डाटा 1 स्टँडर्ड डेव्हिएशन ऑफ मीनच्या आत येते,
• 95%. 2 स्टँडर्ड विचलनांच्या आत येते, आणि
• 99.7% 3 स्टँडर्ड डेव्हिएशनच्या आत येते.

याला 68-95-99.7 नियम किंवा अनुभवजन्य नियम म्हणून ओळखले जाते, जे डाटाचे वितरण समजून घेण्यात स्टँडर्ड डेव्हिएशन कशी महत्त्वाची भूमिका बजावते हे दर्शविते.

6. उदाहरण:

खालील डाटासेट विचारात घ्या: [4, 8, 6, 5, 3]

स्टेप 1: कॅल्क्युलेट करा मीन (μ):

μ=4+8+6+5+3/5=5.2

स्टेप 2: प्रत्येक डाटा पॉईंट आणि स्क्वेअर परिणामांमधून वजा करा:

(4−5.2)²=1.44,

(8−5.2)²=7.84,

(6−5.2)²=0.64,

(5−5.2)²=0.04,

(3−5.2)²=4.84

स्टेप 3: सरासरी स्क्वेअर फरक (नमुना स्टँडर्ड डेव्हिएशनसाठी, n − 1=4 द्वारे विभाजित):

1.44+7.84+0.64+0.04+4.84/4=3.20

स्टेप 4: 3.20 चा स्क्वेअर रूट घ्या:

s=√3.20≈1.79

अशा प्रकारे, डाटासेटचे स्टँडर्ड डेव्हिएशन अंदाजे 1.79 आहे.

निष्कर्ष:

स्टँडर्ड डेव्हिएशन हे एक शक्तिशाली सांख्यिकीय साधन आहे जे डाटासेटमध्ये बदलाची रक्कम मोजण्यास मदत करते. रिस्कचे मूल्यांकन करण्यासाठी, सातत्य मोजण्यासाठी आणि डाटा वितरण समजून घेण्यासाठी विविध प्रकारच्या ॲप्लिकेशन्समध्ये याचा वापर केला जातो. मोठ्या डाटासेट्सची गणना करणे थोडे अधिक जटिल असू शकते, परंतु हे डाटाच्या प्रसाराविषयी मौल्यवान माहिती प्रदान करते आणि फायनान्स, इंजिनीअरिंग आणि रिसर्च सारख्या क्षेत्रांमध्ये व्यापकपणे वापरले जाते.