બ્લેક-સ્કૉલ્સ મોડેલની સમજૂતી: અર્થ, ફોર્મ્યુલા અને કેવી રીતે ગણતરી કરવી

બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલનો ઇતિહાસ અને મૂળ

બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલ 1973 માં અર્થશાસ્ત્રીઓ ફિશર બ્લેક અને માયરોન સ્કોલ્સ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું. તેમના કાર્યને પછી રોબર્ટ મર્ટન દ્વારા સુધારવામાં આવ્યા, જેમણે મોડેલના ગાણિતિક ફાઉન્ડેશનને વિસ્તૃત કરવામાં મદદ કરી. આ સફળતાથી 1997 માં સ્કોલ્સ અને મેર્ટન માટે આર્થિક વિજ્ઞાનમાં નોબેલ પુરસ્કાર મળ્યો હતો (બ્લૅકનું અગાઉ નિધન થયું હતું અને તે પુરસ્કાર માટે પાત્ર ન હતું).

આ મોડેલ પહેલાં, કિંમત વિકલ્પો માટે કોઈ માનક રીત ન હતી. વેપારીઓ અંતર્દૃષ્ટિ અથવા પ્રાથમિક પદ્ધતિઓ પર આધાર રાખે છે. બ્લેક-સ્કોલ્સનું સમીકરણ બદલાઈ ગયું છે કે વિકલ્પ મૂલ્યાંકન માટે સંરચિત અને ગાણિતિક અભિગમ પ્રદાન કરીને.
 

બ્લૅક સ્કૉલ્સ મોડેલ કેવી રીતે કામ કરે છે

બ્લેક-સ્કોલ્સ વિકલ્પ મૂલ્યાંકન મોડેલ યુરોપિયન-શૈલી વિકલ્પની વાજબી કિંમતનો અંદાજ લગાવવા માટે રચાયેલ છે - એક પ્રકારનો વિકલ્પ જેનો ઉપયોગ માત્ર તેની સમાપ્તિની તારીખ પર કરી શકાય છે.

મોડેલ ઘણા મહત્વપૂર્ણ પરિબળોને ધ્યાનમાં રાખીને વિકલ્પની કિંમતની ગણતરી કરે છે:

• અન્ડરલાઇંગ એસેટ(ઓ)ની વર્તમાન કિંમત
• સ્ટ્રાઇક પ્રાઇસ ઑફ ઑપ્શન (K)
• સમાપ્તિ (T) સુધી બાકી રહેલો સમય, વર્ષોમાં વ્યક્ત કરેલ છે
• જોખમ-મુક્ત વ્યાજ દર (આર), જેમ કે સરકારી બોન્ડ્સ પર વળતર
• અન્ડરલાઇંગ એસેટની વોલેટિલિટી (S), જે માપે છે કે કેટલી કિંમતમાં વધઘટ થવાની અપેક્ષા છે

વિચાર સરળ છે: જો તમે આ વેરિયેબલ્સ જાણો છો, તો તમે તેમને બ્લેક-સ્કોલ્સ ફોર્મ્યુલામાં પ્લગ કરી શકો છો અને સૈદ્ધાંતિક વિકલ્પની કિંમત મેળવી શકો છો. ત્યારબાદ વેપારીઓ આ સૈદ્ધાંતિક કિંમતની માર્કેટ કિંમત સાથે તુલના કરી શકે છે, જેથી તે નક્કી કરી શકાય કે કોઈ વિકલ્પ ઓવરવેલ્યૂ અથવા ઓવરવેલ્યૂડ છે કે નહીં.
 

બ્લેક-સ્કૉલ્સ મોડેલ ફોર્મ્યુલા

યુરોપિયન કૉલ વિકલ્પની કિંમત માટે બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલ સમીકરણ છે:

C = S0N(D1)-Kertn(D2)

ક્યાં:

• C = કૉલ વિકલ્પની કિંમત
• S0 = સ્ટૉકની વર્તમાન કિંમત
• K = સ્ટ્રાઇક કિંમત
• T = સમાપ્તિનો સમય (વર્ષોમાં)
• R = જોખમ મુક્ત વ્યાજ દર
• N() = સંચિત માનક સામાન્ય વિતરણ
• D1=SNTLN(S0/K) + (R+21SN2)T​
• d2=d1 − STD

આ ફોર્મ્યુલા, જેને ઘણીવાર BSM ફોર્મ્યુલા (બ્લેક-સ્કોલ્સ-મર્ટન ફોર્મ્યુલા માટે ટૂંકું) કહેવામાં આવે છે, ઇનપુટ ધારણાઓના આધારે સૈદ્ધાંતિક કિંમત આપે છે. તે બ્લેક-સ્કોલ્સ ઑપ્શન પ્રાઇસિંગ મોડેલનો પાયો છે, અને તેના વિવિધતાઓનો ઉપયોગ અન્ય પ્રકારના વિકલ્પો અને ડેરિવેટિવ્સની કિંમત માટે કરવામાં આવે છે.
 

બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલના લાભો

બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલ ઘણા ફાયદાઓ પ્રદાન કરે છે, ખાસ કરીને વેપારીઓ અને નાણાંકીય સંસ્થાઓ માટે ભાવ વિકલ્પોની પ્રમાણભૂત પદ્ધતિ શોધી રહ્યા છે:

• સ્પષ્ટતા અને સાતત્યતા: મોડેલ વિકલ્પની કિંમતોની ગણતરી માટે પારદર્શક અને સાતત્યપૂર્ણ ફ્રેમવર્ક પ્રદાન કરે છે.
• ઝડપ અને કાર્યક્ષમતા: BSM મોડેલ બંધ-ફોર્મ સમીકરણનો ઉપયોગ કરે છે, જે ઝડપી અને સરળ ગણતરીઓ માટે પરવાનગી આપે છે.
• ખોટી કિંમત ઓળખવામાં મદદ કરે છે: બ્લેક-સ્કોલ્સ ફોર્મ્યુલાથી બજાર કિંમતો સાથે સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યની તુલના કરીને, વેપારીઓ અવમૂલ્યવાન અથવા વધુ મૂલ્યવાન વિકલ્પો શોધી શકે છે.
• વ્યાપક રીતે સ્વીકૃત: મોડેલ એક યુનિવર્સલ સ્ટાન્ડર્ડ બની ગયું છે, જે બજારોમાં ભાવોની વ્યૂહરચનાઓ સાથે વાતચીત અને તુલના કરવાનું સરળ બનાવે છે.
   

બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલની મર્યાદાઓ

તેની લોકપ્રિયતા હોવા છતાં, બ્લેક-સ્કોલ્સ વિકલ્પ કિંમત મોડેલ ખામીઓ વગર નથી. તે ઘણી ધારણાઓ પર આધાર રાખે છે જે વાસ્તવિક દુનિયામાં હંમેશા સાચું નથી:

• સતત અસ્થિરતાની ધારણા કરે છે: વાસ્તવિકતામાં, અસ્થિરતા ઝડપથી બદલાઈ શકે છે, ખાસ કરીને મુખ્ય સમાચાર ઘટનાઓ અથવા બજારના તણાવ દરમિયાન.
• માત્ર યુરોપિયન વિકલ્પો માટે: મૂળભૂત મોડેલ અમેરિકન વિકલ્પો માટે કામ કરતું નથી, જેનો ઉપયોગ સમાપ્તિની તારીખ પહેલાં કરી શકાય છે.
• કોઈ ટ્રાન્ઝૅક્શન ખર્ચ અથવા કર નથી: મોડેલ એક "પરફેક્ટ" બજાર ધારે છે જ્યાં ટ્રેડિંગ મફત અને ઘર્ષણ રહિત છે.
• કોઈ ડિવિડન્ડ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી: જ્યાં સુધી ખાસ કરીને સુધારેલ ન હોય, મોડેલ ડિવિડન્ડની ચુકવણી માટે જવાબદાર નથી.
• સામાન્ય વિતરણ ધારણા: તે ધારે છે કે એસેટની કિંમતો લૉગ-સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે, જે વાસ્તવિક કિંમતના વર્તનને પ્રતિબિંબિત કરી શકતી નથી.

આ કારણોસર, વેપારીઓ ઘણીવાર બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલ સમીકરણને એડજસ્ટ કરે છે અથવા જ્યારે બજારની સ્થિતિ તેની ધારણાઓ સાથે સંરેખિત ન હોય ત્યારે વૈકલ્પિક મોડેલોનો ઉપયોગ કરે છે.
 

બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલના વાસ્તવિક-વિશ્વના ઉદાહરણો

ચાલો વાસ્તવિક જીવનમાં બ્લેક-સ્કોલ્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તેનું એક સરળ ઉદાહરણ જોઈએ.

ધારો કે સ્ટૉક ₹1,000 પર ટ્રેડિંગ કરી રહ્યું છે અને તમે આ સાથે કૉલ વિકલ્પ ખરીદવાનું વિચારી રહ્યા છો:

• ₹1,050 ની સ્ટ્રાઇક કિંમત
• સમાપ્તિ સુધી 30 દિવસ
• વાર્ષિક 6% નો જોખમ-મુક્ત વ્યાજ દર
• 25% ની વાર્ષિક વોલેટિલિટી

આ મૂલ્યોને BSM ફોર્મ્યુલામાં દાખલ કરીને, તમે કૉલ વિકલ્પના સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યની ગણતરી કરી શકો છો. જો બજાર આ મૂલ્ય કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ અથવા ઓછું ચાર્જ કરી રહ્યું છે, તો તે ખરીદવા અથવા વેચવાની તક સૂચવી શકે છે.

વ્યવહારમાં, વેપારીઓ બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલને લાગુ કરવા માટે સૉફ્ટવેર અથવા ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરે છે, ખાસ કરીને જ્યારે મોટી સંખ્યામાં કરારો સાથે કામ કરે છે.
 

બ્લેક-સ્કૉલ્સ વર્સેસ અન્ય કિંમતના મોડેલ

જ્યારે બ્લેક-સ્કોલ્સ વિકલ્પ મૂલ્યાંકન મોડેલ લોકપ્રિય છે, ત્યારે વિકલ્પના પ્રકાર અને બજારની સ્થિતિઓના આધારે અન્ય મોડેલોનો પણ ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

સામાન્ય વિકલ્પો:

• બાઇનોમિયલ ટ્રી મોડેલ: આ મોડેલ સમયને નાના અંતરાલમાં વિભાજિત કરે છે અને દરેક નોડ પર વિકલ્પની કિંમતોનું મૂલ્યાંકન કરે છે. તે ખાસ કરીને અમેરિકન વિકલ્પો માટે ઉપયોગી છે.
• મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન: ઘણીવાર જટિલ અથવા પાથ-આધારિત વિકલ્પો માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે, આ પદ્ધતિ હજારો રેન્ડમ કિંમતની પરિસ્થિતિઓ ચલાવે છે.
• સીમિત તફાવત પદ્ધતિઓ: આ વધુ જટિલ ડેરિવેટિવ્સ પ્રાઇસિંગ સમીકરણોને ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી સંખ્યાત્મક તકનીકો છે.

તેઓ કેવી રીતે તુલના કરે છે:
 

જ્યારે આ મોડેલો વધુ લવચીકતા પ્રદાન કરી શકે છે, ત્યારે બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલ સાદા વેનિલા યુરોપિયન વિકલ્પોની ઝડપી, સતત કિંમત માટે ટૂલ રહે છે.

ધ બોટમ લાઇન

બ્લેક-સ્કોલ્સ મોડેલ યુરોપિયન કૉલ વિકલ્પોની કિંમત માટે એક શક્તિશાળી અને સમય-પરીક્ષિત સાધન છે. વાજબી મૂલ્યનો અંદાજ પ્રદાન કરવા માટે તે સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિબળો-કિંમત, સમય, વ્યાજ દરો અને અસ્થિરતાને ધ્યાનમાં લે છે.

જો કે, કોઈ મોડેલ પરફેક્ટ નથી. બ્લેક-સ્કૉલ્સ ફોર્મ્યુલા ચોક્કસ ધારણાઓ હેઠળ શ્રેષ્ઠ રીતે કામ કરે છે, અને વેપારીઓને તેની મર્યાદાઓ વિશે જાણ હોવી જોઈએ. તેમ છતાં, વિકલ્પો બજાર કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે સમજવા વિશે કોઈપણ ગંભીર વ્યક્તિ માટે બ્લેક-સ્કોલ્સ વિકલ્પ કિંમત મોડેલ આવશ્યક છે.

આ મોડેલને માસ્ટર કરીને, વેપારીઓ વધુ માહિતગાર નિર્ણયો લઈ શકે છે, વધુ સારા પ્રવેશ અને બહાર નીકળવાના બિંદુઓને ઓળખી શકે છે અને વધુ ચોકસાઈ સાથે જોખમનું મૂલ્યાંકન કરી શકે છે.